Здравствуйте, Lazy Cjow Rhrr, Вы писали:

LCR>Привет.

LCR>Пусть у нас задана категория C с множеством объектов O и множеством морфизмов M={f}.

LCR>1. Верно ли, что область определения каждого морфизма ? один и только один элемент из O. Область значений ? тоже один, и только один элемент из O?

Конечно верно. Это следует из определения категории. Категория — это два множества: стрелок и объектов, и две функции, первая — DOM — сопоставляет каждой стрелке объект и тоде самое делает вторая функция — CODOM. Иначе говоря, если у нас есть стрелка f, то значение DOM(f) — это некоторый объект, начало этой стрелки, а CODOM(f) — соответственно, ее конец. Ключевое слово здесь "функция". Функция всегда сопоставляет каждому элементу области определения единственный элемент образа. Значит, для каждой стрелки существует единственное ее начало и конец.

LCR>2. Почему морфизм можно отождествить с информацией о типе элементов? Элементов ли?

Здесь много чего сказано и, наверное, сначала надо разобраться, что такое элементы в категориях. Элементы — это точки множеств. Когда мы смотрим на множества категорным взглядом, то образуем категорию всех множеств, в которой стрелки между объектами — это функции между множествами, а сами множества — объекты. Композиция функций — это композиция стрелок, а тождественная функция множества X, это вполне себе стрелка IdX, пропускающая без изменений любый другие функции-стрелки. Вот с этой точки зрения множества совсем не содержат элементов, а представляются как такие монолитные структуры — объекты категории. Это резко контрастирует с теоретико-множественным подходом, который можно назвать атомарным и в котором множество всегда уже расчленено на свои составляющие. В школе нас учат именно такому взгляду на математику и вообще на Мир. Между тем, это не обязательно единственная и верная точка зрения. В качестве оснований математики вполне можно взять и категорию, как монолитный элемент нашего мышления. Это когда строго обосновал Ловер. Сам такой подход к математике называется top-down в сравнении с теоретико-множественным bottom-up. Но что-же тогда есть элементы множеств? Элементами мы называем указатели из точки в объект. Иначе говоря, в категорном множестве мы указываем элементы стрелками из специального объекта — точки. Мы не "заглядываем внутрь" множества а смотрим снаружи и сколько видим элементов, на столько и указываем. Специальный объект "точка" можно тоже охарактеризовать в терминах стрелок, а именно: в точку из любого множества можно построить только одну функцию, не больше и не меньше. По этой причине, точку часто называют терминальным объектом. Итак, элемент объекта A — это стрелка f : T --> A из терминального объекта T в объект A. Сколько таких стрелок есть, столько и элементов у объекта. Но конечно, одного только терминального объекта недостаточно чтобы сделать произвольную категорию похожей на множества. Ведь с множествами можно делать многие вещи — различным образом строить новые множества. Для двух множеств мы можем построить из объединение, пересечение, дополнение и т.д. Также, декартово произведение и множество всевозможных функций из одного множества в другое (это ведь тоже множество!). Все эти процессы необходимо тоже описать категорно. И удивительно, но это было сделано Ловером и Тирни в конце 60-х годов. они охарактеризовали все эти теоретико-множественные операции в терминах взаимоотношений между стрелками в категории. Кроме того, очень важная вещь — это возможность говорить о множестве, является ли оно или нет подмножеством другого. Как это сделать категорно — понять очень трудно. Оказывается, все же можно. С этой целью Ловер и Тирни ввели специальную категорную конструкцию — классификатор подобъектов. Вот оказалось, что категория со всеми такими свойствами позволяет делать все те вещи, что можно делать и со множествами. Такую категорию назвали элементарным топосом. элементарный топос — это категорный аналог множества. Почему элементарный? Потому, что слово "топос"появилось не у Ловера и Тирни, а у Гротендика, который обобщал одну интересную математическую конструкцию. Эта конструкция встречается еще у Римана в его теории аналитических функций, а также в алгебраической геометрии, топологии и даже в теории дифференциальных уравнений. Это конструкция носит название пучок. Оказывает, пучок удовлетворяет всем требованиям элементарного топоса и таким образом может рассматриваться как топос, т.е. как некое обобщенное множество. Пучки — это нечто среднее между множеством и топологией. Так вот, когда мы говорим об элементах, подмножествах и т.п. в категориях, мы всегда имеем ввиду, что такая категория является топосом. С помощью топосов можно можелировать теории точно также как и с помощью множеств. Но здесь есть несколько важных отличий. Некоторые конструкции, например семантику Крипке в модальной логике, очень трудно промоделировать с помощью множеств. Что есть семантика Кримпке? У Крипке понятие истинности не абсолютно, у него в логику введено время. Т.е. есть такая временная прямая, и на каждом элементе прямой (моменте времени) — есть свой мир — модель теории. Мы движемся по времени и миры меняются — то что раньше не было истинным, может стать таковым. Так мы моделируем процесс познания. Пучком эта вещь моделируется очень просто. На самом деле пучок и есть такая конструкция. Есть базовое индексной множество с топологией на нем, в случае семантики Крипке это прямая времени, и куча палок, " вертикально воткнутых в каждую точку пространства" — это миры. Ну раз можно моделировать такие сложные структуры, то можно моделировать и более простые вещи, такие как лямбда-исчисление или еще что-то. Что такое тип? Это некое множество элементов, котрому мы обычно даем имя, но можем и не давать. Что тогда значит фраза: элемент такого-то типа? Да очень просто, это значит что мы указываем в этом множестве некий элемент, т.е. есть стрелка из терминального объекта в объект множества.