Помогите подобрать функцию.

Есть у нас функция g в виде лестницы. Будем считать что высота ступеньки равна 1, а ширина ступеньки равна a (на рисунке равен 2).

Требуется по заданному a, подобрать такую функцию, которая выражена элементарными функциями и очень похожа на исходную лестницу g.
Например такой функцией может быть f на картинке. Но она не идеальна: она не зависит от a, лестница слишком сглажена, не соблюдается высота и ширина ступенек.
Также желательно, чтобы f была возрастающей. В случае f это не так (ступенька уходит вниз).



Реально ли в общем случае решить задачу, т.е. получить общую функцию, зависящую от a, чтобы график ее был бы близок к лестнице с нужной шириной и высотой ступенек?

Спасибо.

Здравствуйте, Буравчик, Вы писали:

Б>Помогите подобрать функцию.

Б>Есть у нас функция g в виде лестницы. Будем считать что высота ступеньки равна 1, а ширина ступеньки равна a (на рисунке равен 2).

Б>Требуется по заданному a, подобрать такую функцию, которая выражена элементарными функциями и очень похожа на исходную лестницу g.

Б>Реально ли в общем случае решить задачу, т.е. получить общую функцию, зависящую от a, чтобы график ее был бы близок к лестнице с нужной шириной и высотой ступенек?

Б>Спасибо.

Да, вполне.



Для изменения высоты умножаешь Ф, для изменения ширины ступеньки умножаешь i.

Б>Реально ли в общем случае решить задачу, т.е. получить общую функцию, зависящую от a, чтобы график ее был бы близок к лестнице с нужной шириной и высотой ступенек?

Если нравится синус, то поможет ряд фурье(частичная сумма ряда):

([x]->[x/a])
выглядит примерно вот так (для [x] приближение работает так же):


Насчёт f'> 0 , решение вероятно существует.

Здравствуйте, Буравчик, Вы писали:

Б>Помогите подобрать функцию.

Б>Есть у нас функция g в виде лестницы. Будем считать что высота ступеньки равна 1, а ширина ступеньки равна a (на рисунке равен 2).

Б>Требуется по заданному a, подобрать такую функцию, которая выражена элементарными функциями и очень похожа на исходную лестницу g.

Б>Реально ли в общем случае решить задачу, т.е. получить общую функцию, зависящую от a, чтобы график ее был бы близок к лестнице с нужной шириной и высотой ступенек?

g(x) = x/a + ½ + h(x),
где h(x) — другая функция, периодическая «гребёнка».

С первыми двумя слагаемыми проблем быть не должно. Гребёнку же можно разложить в ряд Фурье, например по синусам, так как функция h(x) получилась нечётной, то разложение будет особенно простым.
Теперь просто можно взять столько членов, сколько тебе требуется для достижения желаемой точности приближения. Теория говорит что всё получится — обрати, кстати, внимание на рисунок — это как раз твой случай.

А>Насчёт f'> 0 , решение вероятно существует.

Кстати есть тривиальные решения для приближения [x] монотонно возрастающими :

1) f(x) = x+arctan(cot(pi*x))/pi — 1/2. (Это тавтология, особого смысла тут нет, но все функции относятся к элементарным).

2) Для небольших n,
f(x, n) = SUM(H(x-i), i = 1..n), H — http://en.wikipedia.org/wiki/Heaviside_step_function
и H(x) приближается монотонной функцией(см. ссылку и функцию sign), типа 1/2 (1+x/sqrt(x^2+eps)) или через tanh
Очень простое сглаживание.

я думаю нужно начать с того откуда взялось требование чтобы она выражалась через элементарнын функции, и что для твоих потребностей является элементарной функцией

Здравствуйте, xednay89, Вы писали:

X>Для изменения высоты умножаешь Ф, для изменения ширины ступеньки умножаешь i.

Ф — это что такое?

Здравствуйте, dilmah, Вы писали:

D>я думаю нужно начать с того откуда взялось требование чтобы она выражалась через элементарнын функции, и что для твоих потребностей является элементарной функцией

Мне нужно построить математическую модель. Там такие функции-лестницы используются несколько раз и они связаны между собой. По полученной модели нужно получить максимумы, желательно в виде несложных (пусть не совсем точных) формул.

Согласен, что внес некоторую путаницу с терминами. Задавая ограничение про элементарные функции я подразумевал возможность поиска экстремумов (дифференцирования) и в то же время не очень сложный вид искомой функции (для аналитического решения).

Б>Мне нужно построить математическую модель. Там такие функции-лестницы используются несколько раз и они связаны между собой. По полученной модели нужно получить максимумы, желательно в виде несложных (пусть не совсем точных) формул.

Обрати внимание, что существуют линейные функции L1,L2(прямые, проведённые через концы отрезков) такие что L1(x) <= F(x) <= L2(x), и такие функции однозначно описывают F. Возможно это тебе поможет локализовать максимум.

Здравствуйте, Буравчик, Вы писали:

X>>Для изменения высоты умножаешь Ф, для изменения ширины ступеньки умножаешь i.

Б>Ф — это что такое?

Надо полагать, функция Хевисайда.