Итак есть у нас результаты статистического анализа некоторой случайной величины:
— мат. ожидание — m
— обе границы доверительного интервала — [l,u]
— доверительная вероятность — d
Самих данных нет.
Распределение неизвестно, но по обрывкам публикаций есть подозрение, что речь идет о распределении Вейбулла. В 2-параметрическом случае оно задается масштабом и формой (параметры lambda и k).
Их надо определить. Что делаю:
Взял формулы для мат. ожидания (m = lambda * Gamma(1 + 1/k)) и функции распределения (F(x,k,lambda) = 1 — exp(-(x/lambda)^k)), где Gamma — это гамма-функция
Итого имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными (lambda и k):
m = lambda * Gamma(1 + 1/k)
d = exp(-(l/lambda)^k) — exp(-(u/lambda)^k)
Ничего не перепутал? Как это дело решать, хотя бы приблизительно? Надо смотреть в сторону каких нибудь численных итеративных методов? Что-нибудь вроде Математики (которую до этого в глаза не видел) сумеет? Может попробовать скормить какому-нибудь пакету нелинейной оптимизации (задав тривиальную целевую функцию, а уравнения в качестве ограничений)?
Здравствуйте, kl, Вы писали:
kl>Итого имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными (lambda и k): kl>m = lambda * Gamma(1 + 1/k) kl>d = exp(-(l/lambda)^k) — exp(-(u/lambda)^k)
kl>Ничего не перепутал? Как это дело решать, хотя бы приблизительно?
Можно lambda из первого подставить во второе. Тогда получится уравнение с одной неизвестной, а это уже однозначно проще. Решать скорее всего придётся численно, но есть подозрение что уравнение сведётся к поиску нуля монотонной функции, а это уже совсем просто.
Здравствуйте, RomikT, Вы писали:
RT>Здравствуйте, kl, Вы писали:
kl>>Итого имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными (lambda и k): kl>>m = lambda * Gamma(1 + 1/k) kl>>d = exp(-(l/lambda)^k) — exp(-(u/lambda)^k)
kl>>Ничего не перепутал? Как это дело решать, хотя бы приблизительно?
RT>Можно lambda из первого подставить во второе. Тогда получится уравнение с одной неизвестной, а это уже однозначно проще. Решать скорее всего придётся численно, но есть подозрение что уравнение сведётся к поиску нуля монотонной функции, а это уже совсем просто.
Ага, спасибо, я уже сообразил, что протормозил. В общем после небольших плясок с бубном вокруг Математики все благополучно разрешилось.
Здравствуйте, kl, Вы писали:
kl>Итак есть у нас результаты статистического анализа некоторой случайной величины: kl>- мат. ожидание — m kl>- обе границы доверительного интервала — [l,u] kl>- доверительная вероятность — d kl>Самих данных нет. kl>Распределение неизвестно, но по обрывкам публикаций есть подозрение, что речь идет о распределении Вейбулла. В 2-параметрическом случае оно задается масштабом и формой (параметры lambda и k). kl>Их надо определить. Что делаю: kl>Взял формулы для мат. ожидания (m = lambda * Gamma(1 + 1/k)) и функции распределения (F(x,k,lambda) = 1 — exp(-(x/lambda)^k)), где Gamma — это гамма-функция kl>Итого имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными (lambda и k): kl>m = lambda * Gamma(1 + 1/k) kl>d = exp(-(l/lambda)^k) — exp(-(u/lambda)^k)
Вопрос: у них было распределение с известными параметрами, для которого они привели мат.ожидание и квантили, или данные, по которым они оценили мат.ожидание и доверительный интервал для мат.ожидания? Доверительный интервал и квантили -- разные вещи.
Вот, например, взяла природа нормальное распределение с параметрами (0,1) и нагенерила 100 наблюдений. Те товарищи нашли выборочное среднее и доверительный интервал и отрапортовали тебе: МО -0.01, ДИ [-0.20, 0.18]. Природа взяла и еще нагенерила миллион наблюдений. Те переоценили и выдали: МО 0.01, ДИ [-0.008, 0.012]. Заметь, в обоих случаях неизвестная дисперсия одна и та же, распределение то же, а интервал совсем другой.
Короче, во втором случае дела твои плохи...
Вот смотри вторую часть этого примера: Доверительный интервал для математического ожидания нормальной выборки. Там ищется доверительный интервал для МО нормального распределения в случае, когда дисперсия неизвестна. Т.е. они брали статистику такую, что: а) статистика зависит только от неизвестного МО распределения, не зависит от неизвестной дисперсии, б) при любом значении неизвестных параметров (обоих, разумеется) статистика имеет фиксированное известное распределение. Но это еще не все.
* Можно было взять эту статистику, можно было другую.
* Даже для одного метода оценки можно сдвигать интервал туда-сюда. Например, вместо t((1-a)/2) и t((1+a)/2) брать t((1-a)/4) и t((3+a)/4) (будем надеяться, что они брали симметричный интервал).
* Доверительный интервал зависит от количества данных в выборке. Чем больше данных, тем интервал уже (при тех же неизвестных параметрах).
Есть такой ГОСТ 11.007-75 "Прикладная статистика. Правила определения оценок и доверительных границ для параметров распределения Вейбулла." Там стандартные методы построения доверительных интервалов для этого распределения. Зная объем выборки, можно попытаться что-то оценить.
В примере по ссылке, допустим, я сказал тебе, что моя оценка МО 0, а интервал +-1. Что это тебе дает? Ну да, ты знаешь, что выборочное среднее равно 0, а выборочное среднее -- это лучшая оценка для неизвестного МО. Далее, ты знаешь, что t((1-alpha)/2,n-1)*S/sqrt(n)=1, а S -- несмещенная оценка для стандартного отклонения, но ты можешь вычислить S только при известном n.
Короче, тебе надо знать:
а) Размер их выборки.
б) Способ построения доверительного интервала.
Ага, спасибо за развернутый ответ.
V>Вопрос: у них было распределение с известными параметрами, для которого они привели мат.ожидание и квантили, или данные, по которым они оценили мат.ожидание и доверительный интервал для мат.ожидания? Доверительный интервал и квантили -- разные вещи.
Данные. У меня правда есть размер выборки, а как отгадывать методику выбора ДИ — я еще подумаю. У них кстати он не отцентрован относительно среднего.
На самом деле все что мне надо — это оценить вероятности попадания этой величины в некоторые свои интервалы (отличные от их ДИ). Грубо говоря — аппроксимировать распределение дискретным набором значений.
Здравствуйте, kl, Вы писали:
kl>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали: kl>Ага, спасибо за развернутый ответ. V>>Вопрос: у них было распределение с известными параметрами, для которого они привели мат.ожидание и квантили, или данные, по которым они оценили мат.ожидание и доверительный интервал для мат.ожидания? Доверительный интервал и квантили -- разные вещи. kl>Данные. У меня правда есть размер выборки, а как отгадывать методику выбора ДИ — я еще подумаю. У них кстати он не отцентрован относительно среднего.
А он и не должен быть центрирован. Это только для симметричных распределений если одинаковую вероятность отсекают по краям.
kl>На самом деле все что мне надо — это оценить вероятности попадания этой величины в некоторые свои интервалы (отличные от их ДИ). Грубо говоря — аппроксимировать распределение дискретным набором значений.
Понятно. Ну тебе все равно придется оценивать параметры, судя по всему.
