Какой смысл у кривизны кривой?
Как её изобразить н графике функции?

Например с производной понятно — тангенс угла наклона касательной.
А кривизна-?
Рисуют окружность с радиусом-1/кривизна_кривой, но эта окружность соприкасается с крвиой только в одной точке! как ону может характеризовать её "кривизну"?

Здравствуйте, superdeveloper, Вы писали:

S>Рисуют окружность с радиусом-1/кривизна_кривой, но эта окружность соприкасается с крвиой только в одной точке! как ону может характеризовать её "кривизну"?
Не в "одной точке", а в "некоторой окрестности одной точки".

C>Не в "одной точке", а в "некоторой окрестности одной точки".

Т.е. обязательно есть окресноcть где окружность и кривая совпадают?

Здравствуйте, Cyberax, Вы писали:

S>>Рисуют окружность с радиусом-1/кривизна_кривой, но эта окружность соприкасается с крвиой только в одной точке! как ону может характеризовать её "кривизну"?
C>Не в "одной точке", а в "некоторой окрестности одной точки".

Рассмотрим кривизну параболы y = t² в точке (0, 0). Она равна ÿ(t)│t←0, т.е. 2. Радиус кривизны соответственно 1/2, центр кривизны — (0, 1/2). В каких ещё точках, кроме (0, 0) парабола касается окружности?

Здравствуйте, superdeveloper, Вы писали:

под окрестностью понимается столь малый участок кривой, что данную кривую без потерь точности можно аппроксимировать сабжевой окружностью

Здравствуйте, Qbit86, Вы писали:

C>>Не в "одной точке", а в "некоторой окрестности одной точки".
Q>Рассмотрим кривизну параболы y = t² в точке (0, 0). Она равна ÿ(t)│t←0, т.е. 2. Радиус кривизны соответственно 1/2, центр кривизны — (0, 1/2). В каких ещё точках, кроме (0, 0) парабола касается окружности?
В бесконечно малой окрестности.

Здравствуйте, superdeveloper, Вы писали:

C>>Не в "одной точке", а в "некоторой окрестности одной точки".
S>Т.е. обязательно есть окресноcть где окружность и кривая совпадают?
Нет. Это означает, что есть окрестность, где кривая бесконечно близко приближается к оркужности.

Здравствуйте, Qbit86, Вы писали:

Q>Здравствуйте, Cyberax, Вы писали:

S>>>Рисуют окружность с радиусом-1/кривизна_кривой, но эта окружность соприкасается с крвиой только в одной точке! как ону может характеризовать её "кривизну"?
C>>Не в "одной точке", а в "некоторой окрестности одной точки".

Q>Рассмотрим кривизну параболы y = t² в точке (0, 0). Она равна ÿ(t)│t←0, т.е. 2. Радиус кривизны соответственно 1/2, центр кривизны — (0, 1/2). В каких ещё точках, кроме (0, 0) парабола касается окружности?

Это параметрическая функция?
Тогда где х?
imho, кривизна вычисляется как:

втор_произв(y)
------------------------------------------------------------
степень_три_вторых(
( 1 + степень_два( перв_произв(y) ) )
)

Здравствуйте, superdeveloper, Вы писали:

S>Какой смысл у кривизны кривой?
S>Как её изобразить н графике функции?

S>Например с производной понятно — тангенс угла наклона касательной.
S>А кривизна-?
S>Рисуют окружность с радиусом-1/кривизна_кривой, но эта окружность соприкасается с крвиой только в одной точке! как ону может характеризовать её "кривизну"?

Я так понимаю, тебе нужно не формальное объяснение смысла, а интуитивное. Я попробую.

Нарисуй параболу y = t². Теперь нарисуй окружности с радиусами 1/4 и 1/2 с центрами в (0, 1/4) и (0, 1/2) соответственно. Они будут касаться параболы в одной точке (0, 0). В этом отношении они равны, но для определения кривизны вторая окружность равнее. Почему? Попробуй раздуть первую окружность до окружности радиуса 1 с центром в (0, 1). Она тоже будет касаться параболы в точке (0, 0) «внешним образом», и к тому же будет пересекать параболу в точках (−1, 1) и (1, 1). Т.е. по мере раздувания в каком-то месте наша окружность приобрела новое свойство — помимо касания в точке (0, 0), она ещё и пересекает параболу в двух точках. В какой момент она приобрела это свойство? Как только её радиус превысил 1/2. В этом смысле соприкасающаяся окружность будет предельным значением.

Формально: если значения функций в некоторой точке совпадают, то графики этих функций имеют там общую точку; если к тому же производные функций в этой точке совпадают, то эта общая точка — точка касания; если ещё и вторые производные в этой же точке совпадают, значит в этой точке касания кривизны графиков функций равны.

Здравствуйте, Cyberax, Вы писали:

C>В бесконечно малой окрестности.

Ты слишком вольно обращаешься с терминами типа «бесконечно малый». Так нельзя, иначе это будет походить на внешнюю имитацию терминологии учёных. Типа «энергоинформационное биополе», etc.

Здравствуйте, Qbit86, Вы писали:

C>>В бесконечно малой окрестности.
Q>Ты слишком вольно обращаешься с терминами типа «бесконечно малый». Так нельзя, иначе это будет походить на внешнюю имитацию терминологии учёных. Типа «энергоинформационное биополе», etc.
Обычно когда говорят "бесконечно малая", то понимают, что говорят о пределах. Т.е. что для любого расстояния от окружности найдётся такая окрестность, что окружность будет находится к ней ближе этого расстояния. Можно записать это формально, в эпсилон-дельта нотации.

Здравствуйте, Cyberax, Вы писали:

C>Нет. Это означает, что есть окрестность, где кривая бесконечно близко приближается к оркужности.

Что значит «бесконечно близко»? Порядок приближения? Так он не должен быть бесконечным, для определения касания достаточно первого порядка (значения функций и производных). Для определения кривизны достаточно производных второго порядка.

Здравствуйте, Cyberax, Вы писали:

C>>>>>[Соприкасается] Не в "одной точке", а в "некоторой окрестности одной точки".
Q>>>>В каких ещё точках, кроме (0, 0) парабола касается окружности?
C>>>В бесконечно малой окрестности.
Q>>Ты слишком вольно обращаешься с терминами типа «бесконечно малый»...
C>Обычно когда говорят "бесконечно малая", то понимают, что говорят о пределах. Т.е. что для любого расстояния от окружности найдётся такая окрестность, что окружность будет находится к ней ближе этого расстояния.

Последняя фраза не относится к касанию. Я могу в интересующей нас точке график функции просто пересечь прямой, график и прямая тоже будут «совпадать» «в бесконечно малой окрестности» в смысле твоей последней фразы. Т.е. для любого наперёд заданного расстояния точек прямой от графика (или наоборот, точек графика от прямой) найдётся такая окрестность, что все точки отрезка прямой, попавшего в эту окрестность, будут находится ближе этого расстояния. Разумеется, ни о каком касании тут речи нет.

Здравствуйте, superdeveloper, Вы писали:


Q>>Рассмотрим кривизну параболы y = t² в точке (0, 0). Она равна ÿ(t)│t←0, т.е. 2. Радиус кривизны соответственно 1/2, центр кривизны — (0, 1/2). В каких ещё точках, кроме (0, 0) парабола касается окружности?

S>Это параметрическая функция?

Не уверен насчёт корректности термина «параметрическая функция», я бы сказал «параметрическое представление (функции, кривой, etc)».

S>Тогда где х?

Если тебе нужно явно увидеть параметризацию кривой как выражение x(t), y(t), то вот выбранный мной вариант выглядит так:
x(t) = t
y(t) = t²
Подобных параметрических представлений кривой — бесконечно много, и выбранный мной вариант, кстати, не самый лучший.

Q>>Рассмотрим кривизну параболы y = t² в точке (0, 0). Она равна ÿ(t)│t←0, т.е. 2.
S>imho, кривизна вычисляется как...

Совершенно верно, перепишу для наглядности эту формулу по-другому: ÿ / (1+ẏ²)^(3/2). Это для случая явного задания y = y(t). Я при подсчёте выкинул знаменатель, так как при подстановке нуля он будет равен единице. Т.е. я отклонился от нормального порядка редукции, что, если верить хаскелитам, неправославно, евпочя :)

Кстати, о «смысле кривизны». Я упоминал, что моя параметризация кривой не самая лучшая. Нагляднее будет т.н. естественная параметризация. Наша парабола рассматривается как траектория движения некоторой точки. Пусть, например, парабола — это вытоптанный след на снегу. Глядя на след мы не можем восстановить закон движения человека по снегу (в каком направлении он шёл, с какой скоростью, возвращался ли он на некоторых участках назад, etc). Для описания самой траектории мы можем выбрать любой закон движения. Естественная параметризация — это когда мы считаем, что вдоль своего пути человек двигался равномерно. Используемая мной параметризация предполагает, что человек двигался так, чтоб его абсцисса двигалась равномерно (ему для этого, очевидно, приходится ускоряться).

Так вот, фича естественной параметризации в том, что формула для вычисления кривизны становится катастрофически простой, и смысл её виден гораздо лучше, чем у непонятных 3/2 в знаменателе твоей формулы. Для параметризации f : t → ℝ² кривизна определяется как |f¨(t)| (длина вектора кривизны). Т.е. «смысл кривизны» — это мгновенная скорость поворота касательной из расчёта на единицу пройденного пути. Т.е. в данной точке твоей кривой может быть много окружностей, касающихся её, но только одна из них обладает тем свойством, что при равномерном движении по вдоль неё в этой точке скорость изменения производной будет такой же, как и при движении вдоль твоей кривой. Если окружность маленькая, то касательная к ней будет «загибаться» слишком круто, если окружность большая — слишком плавно. А если в самый раз, то это и есть соприкасающаяся окружность.

Здравствуйте, superdeveloper, Вы писали:

S>Какой смысл у кривизны кривой?
S>Как её изобразить н графике функции?

S>Например с производной понятно — тангенс угла наклона касательной.
S>А кривизна-?

Не строго:
Скажем, что две кривые КАСАЮТСЯ друг друга в точке (x, y), если
а) Эта общая точка для обеих кривых.
б) Касательные к кривым в этой точке(нормированные вектора производных по параметрам) коллинеарны.
Тогда построив, для кривой окружность, КАСАЮЩУЮСЯ этой кривой в заданной точке
и взяв величину обратную радиусу мы и получим кривизну кривой в этой точке.

S>Рисуют окружность с радиусом-1/кривизна_кривой, но эта окружность соприкасается с крвиой только в одной точке! как ону может характеризовать её "кривизну"?

Кривизна характеристика кривой В ТОЧКЕ. От точки к точке она меняется.

Здравствуйте, scrv, Вы писали:

S>Тогда построив, для кривой окружность, КАСАЮЩУЮСЯ этой кривой в заданной точке
S>и взяв величину обратную радиусу мы и получим кривизну кривой в этой точке.

Таких окружностей бесконечно много. Для определения кривизны нужна та окружность, порядок касания который будет не ниже двух.

Здравствуйте, Qbit86, Вы писали:


Q>Таких окружностей бесконечно много. Для определения кривизны нужна та окружность, порядок касания который будет не ниже двух.

Мда, погорячился... Вторые производные в натруральной параметризации должны быть равны.

Здравствуйте, superdeveloper, Вы писали:

S>Какой смысл у кривизны кривой?
S>Как её изобразить н графике функции?

S>Например с производной понятно — тангенс угла наклона касательной.
S>А кривизна-?
S>Рисуют окружность с радиусом-1/кривизна_кривой, но эта окружность соприкасается с крвиой только в одной точке! как ону может характеризовать её "кривизну"?

Я попробую объяснить с точки зрения "физики".

Допустим есть кривая (можно считать, что это кривая движения точки), которая задана параметрически, как точка (x,y)(t).
1) Допустим, что нас интересует просто "положение" точки в момент t. Тогда для этого нам необходимо просто знать (x,y)(t), а на графике мы такое положение обозначим просто точкой.
2) Теперь, допустим, что нас интересует "направление" движения. Что это такое? Это то, на сколько за маленькое время изменится "положение" точки. В физике с этим связано понятие скорости. Как нам это изобразить на графике? Да очень просто, чтобы нарисовать данное "направление", надо предположить, что оно не изменится в течении некоторого времени -- получаем, что точка движется по прямой (в классической физике прямую можно определить именно таким образом -- кривая, по которой движется тело с ненулевой скоростью без воздействия внешних сил). Заметь, что данное направление можно было бы изобразить многими способами -- а именно, провести через данную точку любую кривую, касательную к исходной в данной точке -- они все имеют (а следовательно, "символизируют") одно и то же направление, однако более естественно изображать данное направление кривой, у которой это самое направление постоянно -- отрезком прямой. Так направление сразу видно. Теперь можно, например, на графике по двум точкам отрезка прямой "измерить угол".
3) Теперь нас интересует, как это самое "направление" меняется во времени. Будем называть это кривизной. В физике это связано с (центростремительным) ускорением. Как нам ее изобразить? Опять таки, надо нарисовать кривую, у которой эта самая кривизна постоянна и равна кривизне (мгновенному изменению "направления") в данной точке -- а это окружность. Опять-таки, мы могли бы использовать любую кривую с той же кривизной в данной точке, чтобы изобразить кривизну в этой точке, но более естественной и наглядной является окружность. Сразу по радиусу видно кривизну, можно сравнить кривизну в двух точках, например.

Дальше можно развивать "вглубь", например, "кривизна кривизны" -- спираль (можно легко изобразить две точки, в которых величина кривизны одинаковая, а изменение кривизны разное -- две разные спирали с одинаковым начальным радиусом), а можно обобщать: кривизна/кручение трехмерной кривой, кривизна поверхностей, кривизна Римановых пространств...

Здравствуйте, superdeveloper, Вы писали:

S>Какой смысл у кривизны кривой?
S>Как её изобразить н графике функции?

S>Например с производной понятно — тангенс угла наклона касательной.
S>А кривизна-?
S>Рисуют окружность с радиусом-1/кривизна_кривой, но эта окружность соприкасается с крвиой только в одной точке! как ону может характеризовать её "кривизну"?


Представь что на кривой в заданной точке взяты две соседние на расстоянии стремящемся к нулю. И через эти три точки провели окружность. Радиус этой окружности называют радиусом кривизны кривой в этой точке. Величину обратную этому радиусу называют кривизной.

Еще глянь тут картинку http://en.wikipedia.org/wiki/Curvature

Здравствуйте, Аноним, Вы писали:

А>Здравствуйте, superdeveloper, Вы писали:

S>>Какой смысл у кривизны кривой?
S>>Как её изобразить н графике функции?

S>>Например с производной понятно — тангенс угла наклона касательной.
S>>А кривизна-?
S>>Рисуют окружность с радиусом-1/кривизна_кривой, но эта окружность соприкасается с крвиой только в одной точке! как ону может характеризовать её "кривизну"?


А>Представь что на кривой в заданной точке взяты две соседние на расстоянии стремящемся к нулю. И через эти три точки провели окружность. Радиус этой окружности называют радиусом кривизны кривой в этой точке. Величину обратную этому радиусу называют кривизной.

А>Еще глянь тут картинку http://en.wikipedia.org/wiki/Curvature