Здравствуйте, kfmn, Вы писали:

K>Всем привет!

K>Вот придумалась такая задачка:
K>Есть набор одномерных измерений Xi, взятых через равные интервалы времени.
K>Требуется разделить временной отрезок на M частей и аппроксимировать данные Xi на каждой из частей полиномом степени не выше K, таким образом, чтобы минимизировать отклонения этой кусочно-полиномиальной аппроксимации от Xi по какой-нибудь разумной норме.

K>Вопрос 1: решается ли эта задача аналитически хотя бы для каких-нибудь степеней и норм? Поделитесь ссылочками по теме.
Что значит апроксимировать аналитичиски? Непонятно что именно Вы имеете ввиду.
Если целевая функция есть прямая, то имея два замера, точно знаем, что К=1 с отклонением ноль?
K>Далее. Понятно, что с ростом M минимальные отклонения будут убывать. Причем вначале быстро, а потом все медленнее и медленнее.
На практике такие знания силно не помогут. Отклонение(ошибку) на заданной выборке можно всегда свести к нулю, и это задача интерполяции, что совсем не означает, что что найдена оптимальная опроксимация, при этом общее среднее отклонение может сильно разойтись.
Конечно ошибка модели зависит от кол-ва интервалов(частей), но еще зависит от презентативности самой выборки замеров на инревале и выборке самих интервалов. Делать замеры с постоянным временным интервалом можно только для монотонных функций(на практике их очень мало) или в случае, когда нет никаких предположений о характере функции. В свою очередь задача о выборе инревалов, тоже требует информации о характере целевой функции. Что касается полинмов, на практике не используются полиномы порядка больше К=8, т.к. они очень осцилируют на концах. Чаще всего используются полиномы первого, второго и третего порядка, а также их линейные комбинации(смеси), опять же, в зависимости от характера опроксимируемой функции.
Если характер целевой функции не известн, может стоит отказаться от интервелов и полиномов, и посмотреть в сторону нейринных сетей или генетических алгоритнаов. Есть так же множество статистических методов, но большенство из них линеные и предполагают нормальность выборки.
K>Вопрос 2: Какие могут быть критерии определения этого оптимума?
Оптимум деления, есть оптимум модели интерполяции.
Самый реаспространееный, так называемый, кросс- валидационный метод.
Замеры(выборка) делятся на два множества: тестовое и, так называмое, обучающее. Модель опроксимации настраевается таким образом, что при уменьшении среднего отклонения на обучающем множестве, среднее отклонение на тестовом множесве тоже должно уменьшаться (в идеале с той же скоростю). Конечное средне отклонение на тестовом множестве можно принять за реальную ошибку модели. Наименьшая ошибка модели, будет оптимум деления,
Если на обучающем нмножестве среднее отклонение уменьшается, а на тестовом расходится, остатется неизменным, или сходится очень медленно, это говорит о том, что модель начала инерполировать.
Но, кажется, Вы хотели наоборот, найти оптимум деления для оптимума опроксимации, а такого критерия нет.