Вот придумалась такая задачка:
Есть набор одномерных измерений Xi, взятых через равные интервалы времени.
Требуется разделить временной отрезок на M частей и аппроксимировать данные Xi на каждой из частей полиномом степени не выше K, таким образом, чтобы минимизировать отклонения этой кусочно-полиномиальной аппроксимации от Xi по какой-нибудь разумной норме.
Вопрос 1: решается ли эта задача аналитически хотя бы для каких-нибудь степеней и норм? Поделитесь ссылочками по теме.
Далее. Понятно, что с ростом M минимальные отклонения будут убывать. Причем вначале быстро, а потом все медленнее и медленнее.
К примеру, если данные состоят из 5 квазиполиномиальных участков с разными параметрами, то M=5 будет в каком-то смысле оптимальным, дальше пойдет уточнение на участках.
Вопрос 2: Какие могут быть критерии определения этого оптимума?
Интерес пока что чисто академический, хотя понятно, что приложений у такой теории должно быть достаточно. Например, сегментация сильно нестационарных сигналов (скажем, речь) на квазистационарные участки (в случае речи — фонемы или их части).
