Помогите найти общее решение рекуррентных соотношений:

1) U(n+2) = U(n+1) — 1/4 * U(n)

2) U(n+2) — 4*U(n+1) + 3*U(n) = 0

D>1) U(n+2) = U(n+1) — 1/4 * U(n)
U(n) = (1/2)^n * (C1*n + C2)

D>2) U(n+2) — 4*U(n+1) + 3*U(n) = 0
U(n) = C1 * 3^n + C2

Пояснения требуются?

Здравствуйте, mab, Вы писали:

mab>Пояснения требуются?

U(n+2) = p * U(n+1) + q * U(n)

Предположим, что U(n) имеет такую форму:
U(n) = sum(i) a[i]^n * b[i]

U(n+1) = sum(i) a[i]^n * b[i] * a[i]
U(n+2) = sum(i) a[i]^n * b[i] * a[i]^2

a^2 — pa — q = 0

a = 0.5(p +/- sqrt(p^2+4q))

Для p=q=1 (числа Фибоначчи) имеем

a = 0.5(1 +/- sqrt(5)) = { ф+1, -ф }
где ф=0.618... = (sqrt(5)-1)/2 — золотое сечение.

F(n) = (ф+1)^n * b1 + (-1)^n * ф^n * b2

При стартовом значении F(0)=0, F(1)=1

F(0) = b1+b2 = 0
b2 = -b1
F(1) = (ф+1)*b1 — ф*b2 = b1*(2ф+1) = 1
b1 = 1/(2ф+1)

Здравствуйте, Кодт, Вы писали:

К>a^2 — pa — q = 0

Все написано верно, но можно добавить следующее:

1. Практически при решений таких уравнений никто ничего
в некотором виде не ищет, а просто сразу пишут характеристическое
уравнение (ХУ), как написано выше. Хотя понимать откуда оно берется,
конечно, нужно.

2. В общем случае пространство решений реккуррентного соотношения
n-го порядка n-мерно и распадается в прямую сумму пространств
V_\lambda, где \lambda пробегает корни ХУ. Каждое V_\lambda,
в свою очередь, имеет размерность k, совпадающую с кратностью
корня \lambda, и состоит из последовательностей вида
p(n)*\lambda^n, где p(n) -- любой многочлен степени ниже k.