Здравствуйте, McSeem2, Вы писали:

Обозначения в топку (хотя я так понимаю, что это какие-то производные, но боюсь запутаться в количестве f после буквы d)

a += b
b += c
c += d

ПРЯМОЙ ХОД

Как же значиния будут менятся?

       k = 1  k = 2       k = 3            k = 4              k = 5

a[n] =   a    a + b    a + 2b + c    a + 3b + 3c + d    a + 4b + 6c + 4d
b[n] =   b    b + c    b + 2c + d    b + 3c + 3d        b + 4c + 6d
c[n] =   c    c + d    c + 2d        c + 3d             c + 4d

Откуда бпрутся коэффициенты? Они берутся из треугольника (кажется Паскаля)

               1
            1     1
         1     2     1
      1     3     3     1
   1     4     6     4     1
1     5    10    10     5     1

Он строится очень просто: по краям единички, для остальных позиций значение равно сумме двух сверху.
Дополним треугольник нулями и срежем полосу в 4 единички шириной

               1     0     0     0 
            1     1     0     0
         1     2     1     0
      1     3     3     1     0
   1     4     6     4     1
1     5    10    10    5     1

Удалим ненужное и дурацкие отступы

1     0     0     0 
1     1     0     0
1     2     1     0
1     3     3     1
1     4     6     4
1     5    10    10

Получили то, что надо.

ОБРАТНЫЙ ХОД

Надо найти такие x, y, z, чтобы
a = x + y
b = y + z
c = z + d
значит
x = a — b + c — d
y = b — c + d
z = c — d
для второй итерации
x = a — 2b + 3c
y = b — 2c + d
z = c — 2d
для третьей
x = a — 3b + 6с — 10d
y = b — 3c + 6d
z = c — 3d

Коэффициенты (постараемся и здесь найти закономерность) для первого шага

+1  -1  +1  -1
    +1  -1  +1
        +1  -1

для второго шага

+1  -2  +3   0
    +1  -2  +1
        +1  -2

для третьего шага

+1  -3  +6  -10
    +1  -2  +6
        +1  -3

Как видим коэффициенты это члены наклонных рядов треугольника паскаля каждый второй из которых умножен на -1

Что делать с не целыми K русть решает сам автор вопроса, потому что ИМХО нецелое количество итераций цикла вешь неопределённая.