Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>По периметрам граней правильного тетраэдра ездят 4 машины.
P>Причём все по часовой стрелке (если смотреть на грань).
P>Все машины едут всё время с одинаковой скоростью.
P>Но каждая может в начале выбрать эту скорость и точку старта.
P>Неминуема ли катастрофа?

P>

Как я уже писал, условия задачи явно пережаты, их можно ослабить в 2 стороны на выбор.

1) Всего 3 машинки, скорость каждой постоянна.

Мы не будем заранее утверждать, что скорости равны (хотя это и кажется почти очевидным)
Пусть нижняя (красная) машина самая медленная (не быстрее любой другой)
И пусть она сейчас находиться в центре.
Левая (синяя) машина очевидно не может находиться на наклонном ребре в центр — столкнётся.
Но так как она едет не медленнее красной, она не может находиться и на внешнем ребре.
Поэтому она на вертикальном ребре.

Аналогично с левой (зелёной) машиной, только время развернулось.
Она не может быль на наклонном ребре из центра — должна была уже столкнуться
Она не может быть на внешнем ребре — она едет не медленнее красной и тоже должна была столкнуться на наклонном.
Значит она на вертикальном.

Всё, приехали, две машины на одном ребре. Это значит, что либо столкнутся либо должны были столкнуться.

2) 4 машинки, скорость меняют как хотят, лишь бы не назад ехали и каждая проехала несколько кругов.

Сначала 2 очевидных утверждения.
а) 2 машины на одном ребре это кирдык
б) 3 машины, едущие в одну вершину это кирдык
в) 3 машины, едущие из одной вершины тоже кирдык

Пусть нижняя (красная) машинка на наклонном ребре из центра. (как на рисунке)
Правая (синяя) может быть на любом из двух рёбер. Пусть на внешнем.
Дальше никакого произвола.
Внешней (жёлтой) приходится быть на левом ребре (если на нижнем, имеем б))
Левой (зелёной) тоже не осталось выбора — чтобы избежать а ) ей нельзя быть на внешнем ребре, чтобы в) — на вертикальном в центр.

Итак имеем точно ситуацию как на рисунке. Причём вполне жёстко и безальтернативно. Единственная свобода была в начале (с синей), но этот второй случай можно нарисовать и получить ровно то же самое, только иначе развёрнутое.

А теперь смотрим на рисунок. Кто первым достигнет ближайшей своей вершины?
Если зелёная или синяя, то кирдык по сценарию а)
А если жёлтая или красная, то по сценарию б)

3) Так что же делать бедным машинкам?
Ну это совсем просто, я лишь для полноты это скажу.
Надо пустить машинки попарно — две по часовой стрелке, две против.
Тогда имеем две независимые конфликтующие лишь внутри себя пары.
Их легко развести при постоянной единой скорости всех машинок.

4) И последнее. Мне по-прежнему кажется очень забавным исследовать любой многогранник (даже не обязательно правильный). Не может ли быть верным следующее топологическое утверждение: если на каждой грани ездит машинка, и все по часовой стрелке, то катастрофы не миновать. Может кто-нить хотя бы контрпример придумает, чтоб я успокоился?